☛ Résolution d'équations avec sinus (1)

Énoncé
1. Résoudre sur \(]-\pi~;~\pi]\)  l'équation \(\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
2. En déduire les solutions sur  \(\mathbb{R}\) de l'équation \(\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .

Solution

1. On a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique.

Les solutions  sur  \(]-\pi~ ;~ \pi]\)  de   \(\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)  sont \(-\dfrac{\pi}{4}\)  et \(-\dfrac{3\pi}{4}\) .

2. La fonction sinus étant \(2\pi\) -périodique, pour tout entier relatif \(k,\)

• \(\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  
• \(\sin \left(-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \right)=\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  

Les solutions sur \(\mathbb{R}\)  de l'équation  \(\sin\left(x\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)  sont les réels \(-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)  et \(-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) , où \(k\)  est un entier relatif.